Durch die Diskretisierung der Raum-Zeit wurde bisher nur erreicht,
daß das Maß des Pfadintegrals eine mathematische Bedeutung hat.
Tatsächlich sind bei einem 
-Gitter mehr als 2 Millionen Integrale zu
lösen, womit eine analytische Berechnung praktisch ausgeschlossen ist.
Dieser Abschnitt soll nun Methoden erläutern, mit denen dieses
hochdimensionale Integral durch numerische Näherungsverfahren bestimmt
werden kann.
Allerdings scheiden herkömmliche Verfahren wie etwa die Trapezregel
oder die Simpson-Regel aus, da deren Rechenaufwand exponentiell mit der
Dimension des Integrals ansteigt.
Die sogenannten Monte-Carlo-Methoden basieren alle auf der simplen Beobachtung, daß für das Integral
schon
eine unabhängige Schätzung ist, wenn
zufällig und gleichverteilt aus dem Intervall 
gewählt
wird. Bei n Versuchen erhält man
Der Fehler dieser Schätzung verhält sich wie 
und
ist unabhängig von der Dimension des Integrals.
Mit dem Importance sampling möchte man nun erreichen, daß
möglichst viele Stützstellen in das Gebiet fallen, in dem 
groß
ist, um die Varianz der einzelnen Schätzung zu verringern.
Dazu nimmt man eine Funktion 
, deren Integral berechenbar ist und die
möglichst gut annähert, und schreibt
Durch die Erzeugung von Zufallszahlen 
, die mit 
verteilt sind,
ergibt sich bei n Schätzungen
und dabei variieren die Summanden jetzt nicht mehr so stark. Allerdings muß das Integral von g bekannt sein, um aus gleichverteilten Zufallszahlen solche zu erhalten, die mit g verteilt sind.
Bei der Berechnung von Erwartungswerten nach Formel 
gilt
auch
so daß es wünschenswert wäre, den normierten Boltzmann-Faktor als
Funktion g zu benutzen, weil dann nur noch über 
gemittelt werden müßte. Passend verteilte Zufallszahlen sind aber
nicht ohne weiteres zu erzeugen und zudem kommt im Nenner der
Verteilungsfunktion das Integral selbst noch einmal vor.
Einen Ausweg liefert die Metropolis-Methode, bei der mit Hilfe
einer Markovkette sukzessive Konfigurationen 
erzeugt
werden, die im Limes großer Schrittanzahl mit der richtigen
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
verteilt sind.
Beginnend mit einer beliebigen Startkonfiguration 
werden in der
Markovkette die nächsten Konfigurationen 
aus ihrem
jeweiligen Vorgänger mit Hilfe einer Übergangswahrscheinlichkeit
gebildet. Das ,,Zeitmittel`` über N Elemente der Kette
strebt dann mit der statistischen Unsicherheit 
gegen das
Ensemblemittel aus (), wenn die Bedingung der
Detailed balance erfüllt ist:
Diese Bedingung läßt sich nun erfüllen, ohne die Zustandssumme zu kennen, die in p auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt. Es muß also
gelten. Der Beweis und die weiteren Voraussetzungen können z.B. in [15] nachgelesen werden.
Es bleibt nun noch übrig, eine Vorschrift 
zu finden, die
() erfüllt.
Die erste Methode dafür stammt von Metropolis et al. (1953). Dabei wird
immer nur ein Element der Konfiguration U auf einmal verändert, wobei
natürlich alle Elemente an die Reihe kommen müssen. Für die
ausgewählte Variable wird nun ein neuer Wert vorgeschlagen und damit die
Wirkung S berechnet. Ist diese kleiner als die alte Wirkung, so wird
der neue Wert akzeptiert. Vergrößert sich jedoch die Wirkung,
akzeptiert man ihn mit der Wahrscheinlichkeit
Durch diese Möglichkeit unterscheidet sich das System von einem klassischen, bei dem die Wirkung dem Minimum ohne Schwankungen zustrebt, und es werden die Quantenfluktuationen berücksichtigt.
In der reinen SU(3)-Eichtheorie, die in meinen Programmen
ausschließlich simuliert wird, gibt es allerdings die Möglichkeit, den
neuen Wert für die ausgewählte Variable gleich mit der richtigen
Wahrscheinlichkeitsverteilung zu bestimmen, so daß die oben genannte
Akzeptanzentscheidung nicht mehr nötig ist. In Abschnitt
wird diese Methode genauer erläutert.
